幾類最優(yōu)控制問題的混合元方法改超收斂研究.pdf

1、關(guān)于偏微分方程的最優(yōu)控制問題已有大量的工作．目前，已經(jīng)有很多數(shù)值方法可以用來解決最優(yōu)控制問題．在現(xiàn)有的文獻中，大多是采用標準有限元來研究最優(yōu)控制問題，而關(guān)于混合有限元方法的理論分析非常少見．但對于某些問題，混合有限元方法有著不可替代的優(yōu)勢．例如在求解流體控制問題時，利用混合有限元求解，可以同時對壓力和速度得到相同精度的逼近解，提高了離散解的精度．
　　 因此，研究最優(yōu)控制問題的混合有限元方法具有重大的理論意義和應(yīng)用價值．本文中，

2、我們將研究幾類最優(yōu)控制問題混合有限元方法的誤差估計及超收斂性質(zhì)．
　　 本文可分為兩部分．在第一部分，我們研究了橢圓型最優(yōu)控制問題．我們采用的基本方法是利用變分原理得到問題的最優(yōu)性條件，即將一個求泛函極小的問題轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程，伴隨狀態(tài)方程和一個變分不等式三者的聯(lián)立系統(tǒng)．對于求得的最優(yōu)性條件，我們采用混合有限元方法進行離散，即分別對狀態(tài)變量(標量及向量)和控制變量采用不同的有限元空間進行逼近．對狀態(tài)變量及其梯度，我們采用Ravia

3、rt-Thomas混合有限元空間來逼近，對控制變量采用分片多項式空間來逼近．首先，對障礙型約束集的最優(yōu)控制問題，在目標泛函為二次泛函和一般凸泛函的情況下，我們分別研究了其混合有限元方法的最大模誤差估計．值得一提的是，在這一部分的理論分析中，針對控制變量的低正則性，我們引入了特殊的投影算子，利用得到的最優(yōu)性條件，找到控制變量和對偶狀態(tài)變量之間的關(guān)系，將對控制變量的估計轉(zhuǎn)化為對對偶狀態(tài)變量的估計．我們證明了對狀態(tài)變量，對偶狀態(tài)變量及控制變量

4、，它們的精確解與其逼近解之間的誤差在最大模意義下均是收斂的．接著，基于J．Douglas關(guān)于橢圓混合有限元方法的誤差估計，我們僅僅針對目標泛函為二次泛函的情形，對一類具有特殊約束集一積分型約束集的最優(yōu)控制問題進行了先驗誤差估計．我們得到了真解與其逼近解在L2范數(shù)下的豐滿階收斂性，最后，我們給出一些數(shù)值算例來驗證得到的理論結(jié)果．
　　 在第二部分，我們研究了拋物型最優(yōu)控制問題．對于拋物方程混合元方法的先驗誤差，V．Thomec等人

5、已進行了一定的研究，但其并未涉及最優(yōu)控制問題．
　　 因此，我們首先研究了這一問題混合有限元方法的誤差估計．接著，我們分析了矩形剖分下拋物型最優(yōu)控制問題的超收斂性質(zhì)．這一部分的難點在于如何利用目標泛函的凸性和連續(xù)可微性來處理誤差變分不等式，并且對于任意控制集中的函數(shù)，我們需要引入一些與此相關(guān)的可作為中間變量的狀態(tài)函數(shù)和伴隨狀態(tài)函數(shù)，將誤差分為幾部分來考慮．最后，我們證明了狀態(tài)變量，對偶狀態(tài)變量和控制變量的投影與其有限元逼近解之間