穿衣方法與離散可積系統(tǒng).pdf

1、穿衣方法最早是由Zakhrov和Shabat在上個世紀(jì)70年代創(chuàng)立的，它從一個積分算子F和兩個Volterra算子K±出發(fā)，利用積分算子的三角分解關(guān)系得到Gel'fand-Levitan方程．然后利用穿衣關(guān)系將已知常系數(shù)可交換微分算子(初始算子)Mj，j=1，2，變?yōu)榭山粨Q的穿衣算子(Mj，j=1，2，并由此得到非線性演化方程．為了得到此方程的解，就需要從積分算子F與已知算子Mj,j：1，2的可交換性求得積分核F，最后由Gel'fand

2、-Levitan方程構(gòu)造出微分核K的表達(dá)式，從而可得方程的解． 推廣的穿衣方法是由常系數(shù)可交換的算子Mj,j=1，2，推廣為變系數(shù)的算子，并且滿足推廣的可交換關(guān)系．利用定理2．3，以及與上面的方法相平行的方法，就可以得到一系列的變系數(shù)演化方程，以及它們的解．利用這種推廣的穿衣方法，可以得到一大類的演化方程，而不再是孤單的一個方程． 接下來，作者利用推廣的穿衣方法首先考慮了AKNS譜問題，利用兩組變系數(shù)初始算子對，分別得到

3、變系數(shù)耦合mKdV方程和變系數(shù)耦合NLS方程，同時，還給出它們的顯式解．并利用分解的思想，將(2+1)．維變系數(shù)KP方程分解為已得的(1+1)-維變系數(shù)耦合mKdV方程和變系數(shù)耦合NLS方程，然后利用(1+1)-維變系數(shù)耦合mKdV方程和變系數(shù)耦合NLS方程的相容解，得到變系數(shù)KP方程的顯式解．作者考慮推廣穿衣方法的另一個應(yīng)用是得到變系數(shù)DS方程，同時，得到它們的顯式解． 穿衣方法的理論發(fā)展主要有兩種：一種是基于Riemann-

4、Hilbert問題的穿衣方法，即一定程度上的經(jīng)典Darboux變換方法；另一種是基于局部-(a)-問題的-(a)。穿衣方法·本文在第3部分首先介紹了-(a-)穿衣方法，包括方程的構(gòu)造和解的構(gòu)造，然后介紹了正交曲紋坐標(biāo)系，Gauss-LamE方程和Gauss-Codazzi方程．由于已經(jīng)知道Gauss-Codazzi方程的解，而可積系統(tǒng)與可積幾何之間的關(guān)系也已經(jīng)被建立起來．作者利用Gauss-LamE方程和適當(dāng)?shù)募s束條件將上述二者聯(lián)系起來

5、，利用已知的Gauss-Codazzi方程的解來求解具體的可積方程．作為例子，本文考慮了Sine-Gordon方程和Tzitzeica方程，并給出它們的新解． 在第4部分，考慮了一個離散譜問題．將它的伴隨譜問題同時展開為λ的正冪和負(fù)冪多項式，由此得到了一族離散方程，同時還利用跡恒等式給出了該族離散方程的Hamilton結(jié)構(gòu)．接下來，本文又考慮了兩個(1+1)．維變形Toda鏈·而這兩個(1+1)-維離散方程恰為由伴隨譜問題分別按

6、λ的正冪和負(fù)冪展開所得到的第一個非平凡方程．最后，利用Lax矩陣的有限階展開方法給出這兩個變形Toda鏈的擬周期解． 在本文的第5部分作者首先考慮了一個離散Toda族，通過建立位勢與特征函數(shù)之間的Bargmann約束給出了新的辛映射和有限維Hamilton系統(tǒng)，然后用母函數(shù)方法計算了守恒積分的對合性，并且利用橢圓坐標(biāo)證明了守恒積分的獨立性，從而證明了辛映射和有限維Hamilton系統(tǒng)在Liouville意義下的完全可積性．接著，

7、作者又考慮了一個(2+1)維Toda鏈．利用分解的方法將這個(2+1)維鏈分解為兩個可解的(1+1)維相關(guān)Toda鏈．借助特征函數(shù)所滿足的Lax方程解矩陣，通過對Lax矩陣的有限階展開，建立了橢圓坐標(biāo)和(1+1)維相關(guān)Toda鏈的解之間的直接的關(guān)系．引)xAbel-Jacobi坐標(biāo)，進(jìn)行了連續(xù)流和離散流的拉直．最后利用Riemann-Jacobi反演方法得到(1+1)維相關(guān)Toda鏈和(2+1)維Toda鏈的擬周期解． 在本文的