偏微分方程的小波精細(xì)積分法研究.pdf

1、工程中的許多問題可歸結(jié)于偏微分方程的求解。傳統(tǒng)的各種分析與計(jì)算方法在具有其特定優(yōu)點(diǎn)的同時(shí),也均具有不足之處。近年來,隨著小波理論的發(fā)展,小波分析已成為當(dāng)前數(shù)學(xué)中迅速發(fā)展的新領(lǐng)域,它可以解決Fourier分析不能解決的許多困難問題,是在研究工具及方法上的創(chuàng)新,已稱為眾多學(xué)科共同關(guān)注的熱點(diǎn)。小波方法能夠很好的分析函數(shù)的局域變化特性,而且將小波方法與傳統(tǒng)的數(shù)值方法相結(jié)合,出現(xiàn)了很多數(shù)值性能優(yōu)越的新算法,非常適合非線性偏微分方程的數(shù)值求解。在這

2、些小波數(shù)值方法中,小波配置法較為典型,是一種結(jié)合全局方法的高精度和局域方法的穩(wěn)定性的計(jì)算方法。本文將小波配置法與精細(xì)積分法相結(jié)合,構(gòu)造了一種用于求解線性和非線性擴(kuò)散方程的新方法。在空域上選用區(qū)間擬Shannon小波配置法離散偏微分方程,在時(shí)域上采用精細(xì)積分法,提出并解決了如下的問題： 1.對(duì)線性拋物型偏微分方程,選取區(qū)間擬Shannon尺度函數(shù)為基函數(shù),用小波配置法對(duì)空域離散得到線性常微分方程組,然后用一種高效的數(shù)值方法--精細(xì)

3、積分法求解該常微分方程組,得到了求解變系數(shù)偏微分方程的一個(gè)有效的數(shù)值方法。最后進(jìn)行了數(shù)值實(shí)驗(yàn),表明了該方法的有效性。 2.對(duì)非線性偏微分方程,選取區(qū)間擬Shannon尺度函數(shù)為基函數(shù),用配置法對(duì)空域離散得到一組非線性常微分方程,根據(jù)精細(xì)積分法思想,對(duì)該非線性方程組提出了兩種處理方法,(1)在一個(gè)積分步長內(nèi)將方程組中的非線性項(xiàng)通過泰勒展開做線性化處理,再用精細(xì)積分法求解。(2)在一個(gè)積分步長內(nèi)將方程組的非線性項(xiàng)通過泰勒展開,并引入

4、擴(kuò)容化技術(shù)化成齊次線性方程組,得到了一種求解非線性常微分方程組的齊次擴(kuò)容精細(xì)積分法。該方法不涉及矩陣的求逆運(yùn)算,通過對(duì)Burgers方程和MKDV方程的求解,得到了良好的效果。 3.將小波精細(xì)積分法與能量守恒性質(zhì)相結(jié)合,構(gòu)造了一種求解偏微分方程的高精度數(shù)值方法,分別求解了雙曲型偏微分方程和拋物型偏微分方程。首先由定義得到與該方程相關(guān)的廣義能量函數(shù)和廣義能量積分,根據(jù)能量守恒定理得到方程的能量守恒式,然后對(duì)能量守恒式的空間變量用小